第3章: Laurent展開と留数定理

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3.1 Taylor級数とMaclaurin展開

正則関数は収束円内でTaylor級数に展開できます。

📐 定義: Taylor級数展開
$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n$$ Maclaurin展開 ($z_0 = 0$): $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n$$

💻 コード例 1: Taylor級数展開の計算

Python実装: Taylor級数による関数近似

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.special import factorial import sympy as sp # SymPyで記号計算 z = sp.Symbol(‘z’) z0 = sp.Symbol(‘z0’) # 関数の定義 functions_sym = { ‘e^z’: sp.exp(z), ‘sin(z)’: sp.sin(z), ‘cos(z)’: sp.cos(z), ‘1/(1-z)’: 1/(1-z), } print(”=== Taylor級数展開 (Maclaurin展開, z0=0) ===\n”) for name, f_sym in functions_sym.items(): print(f”f(z) = {name}”) # Taylor展開（10次まで） taylor_series = sp.series(f_sym, z, 0, n=6).removeO() print(f”Taylor series: {taylor_series}”) print() # 可視化省略（元のコード参照）

3.2 Laurent級数展開

特異点を含む領域では、負のべきを含むLaurent級数で展開されます。

📐 定義: Laurent級数展開
$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n$$ 正部（正則部）と負部（主要部）に分けると: $$f(z) = \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n}{\text{正則部}} + \underbrace{\sum{n=1}^{\infty} \frac{a_{-n}}{(z - z_0)^n}}_{\text{主要部}}$$

3.3 特異点の分類

特異点は除去可能特異点、極、真性特異点の3つに分類されます。

📐 定理: 特異点の分類

• 除去可能特異点: 主要部が0 → $\lim_{z \to z_0} f(z)$ が有限
• $m$ 位の極: 主要部が有限項 $(z-z_0)^{-m}$ まで
• 真性特異点: 主要部が無限項

3.4 留数の計算

留数は Laurent展開の $(z-z_0)^{-1}$ の係数で、複素積分の計算に重要です。

📐 定義: 留数（Residue）
$$\text{Res}(f, z_0) = a_{-1}$$ ただし $a_{-1}$ はLaurent展開 $f(z) = \sum a_n (z-z_0)^n$ の $(z-z_0)^{-1}$ の係数

$m$ 位の極の場合: $$\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z-z_0)^m f(z)]$$

3.5 留数定理

留数定理により、複素積分が留数の和で計算できます。

📐 定理: 留数定理
$$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)$$ ただし $z_k$ は $C$ 内部の特異点

3.6 実積分への応用 (1): 有理関数

留数定理を使うと、複雑な実積分を複素積分に変換して計算できます。

🔬 応用例: 有理関数の実積分
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)} dx = 2\pi i \sum_{\text{上半平面}} \text{Res}(f, z_k)$$ ただし $\deg Q \geq \deg P + 2$ のとき収束

3.7 実積分への応用 (2): 三角関数を含む積分

$z = e^{i\theta}$ の置換により、三角関数を含む積分を複素積分に変換できます。

📐 定義: 三角関数積分の変換
$$z = e^{i\theta}, \quad \cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}$$ $$\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta) d\theta = \oint_{|z|=1} R\left(\frac{z+z^{-1}}{2}, \frac{z-z^{-1}}{2i}\right) \frac{dz}{iz}$$

3.8 実積分への応用 (3): フーリエ型積分

$e^{iax}$ を含む積分にも留数定理が有効です。

📐 定理: フーリエ型積分
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{iax} dx = 2\pi i \sum_{\text{Im}(z_k)>0} \text{Res}(f(z)e^{iaz}, z_k) \quad (a > 0)$$

3.9 材料科学への応用: 格子振動とフォノン分散

固体物理学では、格子振動の分散関係を解析する際に複素関数論が使われます。

📝 物理的意義:

• グリーン関数の極 → 格子振動モード（フォノン）
• スペクトル関数 → 状態密度
• 複素周波数 → 振動の減衰

📝 章末問題

✏️ 演習問題

1. $f(z) = \frac{e^z}{z^3}$ の $z=0$ 周りのLaurent展開を求めよ。
2. $f(z) = \frac{1}{z(z-1)(z-2)}$ の留数を全ての特異点で計算せよ。
3. 留数定理を使って $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^4}$ を計算せよ。
4. $\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{3 + 2\cos\theta}$ を留数定理で計算せよ。

まとめ

• Laurent級数は特異点近傍での関数表現を提供
• 留数定理により複雑な実積分が計算可能
• 物理学（量子力学、統計力学）での応用が広範
• 数値計算でも留数の理解が重要

← 第2章: 複素積分 第4章: フーリエ変換 →（準備中）

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