第5章: 相対論的量子力学

Relativistic Quantum Mechanics

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🌐 JP | 🇬🇧 EN | Last sync: 2025-11-16

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5.1 Klein-Gordon方程式

📚 相対論的エネルギー・運動量関係

Einstein の関係式: \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\)

量子化: \(E \to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\), \(\mathbf{p} \to -i\hbar\nabla\)

Klein-Gordon方程式 :

\[ \left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right)\psi = 0 \]

問題点 :

5.2 Dirac方程式

📚 Dirac方程式の導出

1階の時間微分を持つ相対論的方程式を求めます。

Dirac方程式 :

\[ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} = \left(c\boldsymbol{\alpha}\cdot\hat{\mathbf{p}} + \beta mc^2\right)\psi \]

Dirac行列 (標準表現):

\[ \alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix} \]

ここで \(\psi\) は4成分スピノル です。

自由粒子の解

平面波解:

\[ \psi = u(\mathbf{p}) e^{-i(Et - \mathbf{p}\cdot\mathbf{r})/\hbar} \]

正エネルギー解 : \(E = +\sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}\) (粒子)

負エネルギー解 : \(E = -\sqrt{(pc)^2 + (mc^2)^2}\) (反粒子)

5.3 反粒子と量子電磁力学

📚 Dirac の海と正孔理論

負エネルギー状態が全て占有されたDirac海 を仮定します。

負エネルギー状態の空孔 = 正の電荷・正のエネルギーの粒子 = 反粒子

電子(e⁻)の反粒子 = 陽電子(e⁺)

対生成・対消滅 :

\[ \gamma \to e^- + e^+ \quad (E_\gamma > 2m_ec^2) \]

\[ e^- + e^+ \to 2\gamma \]

量子電磁力学(QED)への発展

Dirac方程式は場の量子論 の枠組みで完全に理解されます:

5.4 相対論的補正と微細構造

📚 水素原子の微細構造

非相対論的エネルギー: \(E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}\)

微細構造分裂 (相対論的補正):

\[ \Delta E_{fs} \sim \alpha^2 E_n \]

ここで \(\alpha \approx 1/137\) は微細構造定数 です。

スピン-軌道相互作用 :

\[ H_{SO} = \frac{1}{2m^2c^2}\frac{1}{r}\frac{dV}{dr}\mathbf{L}\cdot\mathbf{S} \]

全角運動量 \(\mathbf{J} = \mathbf{L} + \mathbf{S}\) の固有状態で対角化されます。

🎯 演習問題

  1. Klein-Gordon方程式 : 自由粒子の平面波解を求め、分散関係を導け。
  2. Dirac行列の性質 : \(\{\alpha_i, \alpha_j\} = 2\delta_{ij}\), \(\{\alpha_i, \beta\} = 0\) を確認せよ。
  3. スピノル : 静止した粒子のDiracスピノルを構成し、スピン射影演算子を適用せよ。
  4. 微細構造 : 水素原子のn=2準位の微細構造分裂を計算せよ。

まとめ

本章では、相対論的量子力学を学びました:

これで量子力学シリーズは完結です。さらに学ぶには、場の量子論、素粒子物理学へ進みます。

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